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读读欧拉吧,他是我们大家的老师

时间:2016-10-21 13:02:00作者: 史晓雷的博文来源: http://blog.sciencenet.cn/blog-451927-1010053.html


按:写欧拉的科普文章和书籍很多了,下面拙文没什么新的史料发现,权作一篇科普稿子。大约2009年,通过自然科学史研究所邹大海老师联系,让我们几位学生(当时笔者为博士生)为一出版社写一科普书(每人完成几篇,大概如此,记不清了)。后来我们完成后,不知什么原因,此事就没了结果。我便把几篇小文修改后投给《中学生百科》杂志,这篇刊登在2009年第7期上,标题作:他是我们大家的老师。发表时有删节,下文为完整版。

在科学史上,17世纪属于牛顿,18世纪则是欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)的天下。他是历史上最多产的数学家,一生完成的论文和著作有886篇或部(生前发表了500多),其中数学著作占了一大半。正如贝多芬耳聋之后并未阻挡他对音乐创作的激情一样,欧拉在晚年双目失明的17年中,依然保持了惊人的创造力,依靠口述完成了大量的著作和论文。我们不能把欧拉看作纯粹的数学家,他在物理学、天文学领域均有很深的造诣,在生理学和文学方面,也是知识渊博的学者。

图1 欧拉的一幅画像(据画像,应该是在其右眼失明之后)

1707415,欧拉生于瑞士的巴塞尔。欧拉的父亲是一位牧师,早年毕业于巴塞尔大学,曾经是数学家雅各布・伯努利的学生,并与伯努利家族(这一家人全是数学家)有几份交情。因此欧拉小时候经常和雅各布的两位侄子,也就是约翰・伯努利的两个儿子尼古拉和丹尼尔一起玩,他也逐渐喜欢上了数学。父亲打算让欧拉学习神学,以便接替他在教堂的职位,因为那时候牧师、医生和律师是比较体面的职业。1720年,13岁的欧拉进入巴塞尔大学学习神学,他在数学上的天赋很快引起了约翰的注意,约翰慷慨决定每周末单独辅导欧拉一次,欧拉非常珍视这样的机会,每次他都把问题想得很深入,并且带尽可能少的问题去请教老师。在约翰的精心指导下,欧拉的数学突飞猛进。1724年,17岁的欧拉获得了硕士学位,父亲执意要他做牧师,但在伯努利家族的劝说下,最终父亲同意了让欧拉研究数学。


图2 多面体欧拉公式(e为顶点数,k为棱数,f为面数;左为正二十面体)

1727年,欧拉就要小试牛刀了。当时欧洲的科学院有个惯例,就是根据政府的实际问题设奖求解。那年,巴黎科学院就“在船上安装桅杆”的问题设奖征答。欧拉提交了一篇论文,但没能获得奖金,仅得到了荣誉提名奖,原因可能是他当时压根就没有见到过一艘船。之后,他向巴塞尔大学的教授职位提出申请,结果又失败了。欧拉并没有灰心,因为当时在圣彼得堡科学院任职的丹尼尔和尼古拉告诉欧拉,圣彼得堡科学院的医学部有个职位,让他前去应聘。欧拉为此一头钻进了生理学,为此还跑去旁听巴塞尔大学的生理学课。等他到了圣彼得堡时,恰逢俄国女皇叶卡捷琳娜去世,科学院一片混乱,医学部的职位也没人管了,欧拉趁机进了数学部,埋头于他心爱的数学研究中,1731年成为教授。1733年,在丹尼尔返回瑞士后,欧拉接替他担任了科学院数学部的领导职责。那一年欧拉娶了一位画师的女儿,他像喜欢数学一样喜欢孩子,他前后结过两次婚,一共有13个孩子,不过只有5个幸存了下来。欧拉是科学史上为数不多的可以在任何地点、任何情况下进入工作状态的科学家,他常常一手抱着婴儿,一边写他的数学论文,稍大的孩子就围在他的身边嬉戏。在圣彼得堡,欧拉勤奋地工作,公开发表了55篇论文(实际完成近百篇),出版了他的第一本著作《力学》,还参与了俄国政府分配的许多额外工作,比如编写教材,改革度量衡、设计拱桥等。由于过度劳累,在1735年的一场病后,他的右眼失明了(注:经核实,其右眼失明的年代说法不一,有说1735年,有说1738年)1741年俄国政局陷入混乱,科学院被一些不学无术的人所把持,欧拉愤然离开俄国,到了普鲁士的柏林科学院。

欧拉在柏林期间,完成了300多篇论文和大量著作。值得一提的是欧拉不但是数学研究的巨匠,还是一位杰出的科普大师,他拥有化腐朽为神奇的力量,能把艰深的科学知识以明白畅晓的形式表达出来,而且文字优美,有“数学家中的莎士比亚”之美誉。在普鲁士期间,他以通信的形式辅导一位公主物理、哲学、音乐、逻辑、伦理等知识,后来这些通信以《给一位德国公主的信》出版,因其文笔优美、通俗易懂而在欧洲广为传播。1766年,在俄国女皇叶卡捷琳娜二世的盛邀之下,欧拉重返俄国圣彼得堡,这次欧拉得到了优厚的待遇,皇室提供了一套可供他们全家18口居住的房子,家具一应俱全,还配备了一名皇家的厨子。不过倒霉的事迅速包围了欧拉,到圣彼得堡不久,欧拉的左眼因患白内障而失明,他完全陷入了黑暗的深渊。1771年,圣彼得堡的一场大火又差点要了他的命,多亏了他的仆人腿脚利索,才把他背出来,可惜的是他的许多手稿成了灰烬。但这些都未能阻止他在数学上探索的脚步,欧拉似乎是为数学而生的,在双目失明的情况下,凭着自己超强的记忆力和顽强的毅力,先是通过粉笔把公式写在一块很大的石板上,然后口授,由他的儿子笔录来完成论著。厄运并没有阻挡欧拉探索数学奥秘的脚步,相反,他在双目失明之后,完成了400多篇论文,这段时间反而成了他一生创作的高峰期。欧拉从来不服从命运的安排,他说如果命运是块顽石,他就是一把大铁锤,要把这块顽石砸得粉碎。欧拉的心算能力和记忆能力在数学家中是罕见的,一次他的两个学生在计算17项数字之和时发生了争执,原来两人的计算结果在第50位数字不同。为了做出裁决,双目失明的欧拉通过心算很快就得出了正确结果。也难怪法国物理学家阿拉果说,欧拉计算时毫不费力,就像人呼吸、或者鹰在风中保持平衡一样。

1783918下午,欧拉计算了关于气球上升轨迹的问题,然后和家人吃晚饭,饭桌上还谈起了天王星的轨道问题。饭后他一边喝茶一边和孙子们玩耍,突然,他的烟袋掉在地上,他留给后人的最后一句话是:“我要死了”,说完便停止了呼吸。

欧拉在数学上的成就包罗万象,包括造船、金融、历法、绘图等应用性非常强的领域。数学的分支中处处可以见到以欧拉命名的数学名词,比如欧拉常数、欧拉线、欧拉函数、欧拉方程、欧拉公式、欧拉定理等。不过,如果提到欧拉最重要的数学成就,那是数学分析,《欧拉全集》中的数学部分有30分卷,其中17卷有关数学分析。数学分析是18世纪数学的主题,欧拉被同时代的人誉为“分析的化身”。

下面这些数学符号,可都是欧拉创造的或者由他推广而使用的:

π:圆周率,是圆的周长除以直径所得值,大约等于3.14,注意了,它可不论你的圆多大多小,一律得3.14的。

i:虚数的单位,它有个奇怪的特性,就是i×i或者说i2等于-1。最初人们认为它是与现实世界毫无关系的数,因为在乘法中正正得正,负负也得正,偏偏i×i=-1,有些不伦不类,所以被称为“虚构的数”,简称虚数

e:它叫自然对数的底,你现在可以不深究它的含义,但以后你会知道,在数学符号中它的地位仅次于π,其值大约是2.718

Σ:这个符号的读音很有趣,读作:西格马,它的意思是对后面的数值进行求和运算,当你求众多个数之和时,它会省下写很多个“+”的麻烦。如果你乐意,可以把你的早餐简单写作Σ(一袋鲜奶,两块面包),没准你可以因此晕倒一批数学家呢。

欧拉不但善于创造符号,而且能够完美地把数学符号统一到一个公式中,被誉为最美的数学公式就是欧拉等式:

e+1=0

这个等式其实是前面我们提到的欧拉公式的一个特殊情况,这个等式把数学中最重要的五个数ei

π、01以如此简洁的形式联系在了一起,令人惊叹不已。

对于如此博大的欧拉,法国大数学家拉普拉斯由衷地说:“读读欧拉吧,他是我们大家的老师。

Pierre-Simon Laplace said, read Euler, read Euler, he is the master of us all.)

附图3:瑞士法郎上的欧拉

钞票正面是一对啮合的齿轮,应该寓意欧拉在渐开线齿轮方面的研究,他是这方面的开拓者。

在钞票背面上有一个太阳系图,不确切是不是指欧拉在太阳、地球、月球三体问题上的贡献。在科学史上,他是第一个用近似计算方法解决此问题的人。另外,图上又有彗星,也可能指欧拉在1735年计算了一颗彗星轨道的问题。或者两者兼而有之。

背面上的透镜与光的折射应该反映是1771年欧拉出版的《屈光学》成就,具体指什么,还请专家指教。

背面背景上的锥形器(?)应该寓意欧拉在流体力学方面的贡献――这条也不确定。